Аксиома синусов — аксиома, устанавливающая зависимость меж сторонами треугольника и противолежащими им углами. Аксиома утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, либо, в расширенной формулировке:
Для случайного треугольника
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R
где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Подтверждение аксиомы синусов:
Довольно доказать последующие положения:
a/sinα = 2R
Проведем поперечник BG для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол BCG прямой и угол при верхушке G треугольника BCG равен или α, в том случае точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, или π — α в неприятном случае. Так как sin(π — α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для 2-ух других сторон треугольника получаем:
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R
см. рис.
Первоисточники: