Верный пятиугольник либо пентагон (англ. regular pentagon) — это пятиугольник, все стороны и все углы которого равны меж собой.
Формулы для правильного пятиугольника:
Величина α внутренних углов правильного пятиугольника (n=5) составляет:
α = (n — 2)/n · 180° = (3/5) · 180° = 108°.
Площадь правильного пятиугольника со стороной a рассчитывается по формуле:
S = (5/4) a2 ctg(π/5) = (1/4) √5 √(5 + 2√5) a2 ≈ 1,720 a2.
Площадь правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R рассчитывается по формуле:
S = (5/2) R2 sin(2π/5) = (5√2/8) √(5 + √5) R2 ≈ 2,378 R2.
Площадь правильного пятиугольника, описанного вокруг окружности радиуса r рассчитывается по формуле:
S = 5 r2 tg(π/5) = 5 √(5 — 2√5) r2 ≈ 3,633 r2.
Высота правильного пятиугольника со стороной a составляет:
h = (1/2) a tg 72° = (1/2) √(5 + 2√5) a2 = 1,539 a.
Отношение диагонали d правильного пятиугольника к его стороне a равно золотому сечению:
d/a = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
Радиус r окружности, вписанной в верный пятиугольник со стороной a составляет:
r = (1/10) √5 √(5 + 2√5) a ≈ 0,688 a.
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника со стороной a составляет:
R = (1/10) √10 √(5 + √5) a ≈ 0,851 a.
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, есть возможность отыскать по радиусу r вписанной в него окружности по формуле:
R = (√5 — 1) r ≈ 1,236 r.
Факты о правильном пятиугольнике:
Верный пятиугольник может быть возведен при помощи циркуля и линейки, либо вписыванием его в заданную окружность, либо построением на базе данной стороны. В первый раз это построение обрисовал Евклид в собственных «Началах» около 300 года до н.э.
Все диагонали правильного пятиугольника равны меж собой. Совместно они образуют пятиконечную звезду, именуемую также пентаграммой. Отношение длины диагонали к длине стороны правильного пятиугольника равно золотому сечению.
Правильными пятиугольниками нельзя замостить плоскость в отсутствие промежутков и наложений. Это меньший по числу сторон верный многоугольник, который обладает подобным свойством.
Додекаэдр — единственный верный полиэдр, грани которого представляют собой правильные пятиугольники. Верный пятиугольник — больший по числу сторон верный многоугольник, из которых есть возможность собрать верный полиэдр.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника. Но, при формировании водяного льда на ровненькой поверхности меди при температурах 100-140 K на поверхности поначалу появляются вереницы молекул шириной около 1 нм пентагональной структуры.
Верный пятиугольник есть возможность получить, завязав узлом полоску бумаги, а потом сплющив узел.
Пентагоном именуют министерство обороны США, так как оно располагается в здании, имеющем в плане форму правильного пятиугольника (пентагона).
Источники:
ru.wikipedia.org — Википедия: Верный пятиугольник
wolframalpha.com — Wolfram|Alpha: regular pentagon (англ. яз.)
Дополнительно на New-Best.com:
Какой величины углы у правильного треугольника?
Что такое пентаграмма?
Сколько диагоналей у пятиугольника?
Кто таковой Евклид?
Почему у строения Пентагона 5 углов?
Array