» В дни моей молодости я в свободное время забавлялся тем, что составлял волшебные квадраты » — писал Бенджамин Франклин.
Волшебный КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в какой суммы чисел повдоль хоть какой строчки, хоть какого столбца и хоть какой из 2-ух основных диагоналей равны одному и тому же числу. Это из Энциклопедии «Кругосвет»
Большая Советская Энциклопедия дает более сложное определение, однако сущность схожа. » Волшебный квадрат — квадрат, разделённый на равное число n столбцов и строк, со вписанными в приобретенные клеточки первыми n2 натуральными числами, которые предоставляют в сумме по каждому столбцу, каждой строке и двум огромным диагоналям одно и то же число [равное, как просто доказать, 1/2 n( n2+1) ]. Подтверждено, что М. к. есть возможность выстроить для хоть какого n, начиная с n = 3 «
Энциклопедия Википедия дает схожее определение, тоже с применением формулы. » Волшебный, либо магический квадрат — это квадратная таблица n x n , заполненная n2 числами, следовательно, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается схожей. Обычным именуется волшебный квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.
Волшебные квадраты есть для всех порядков n > 1 , кроме n = 2, случай n = 1 банален — квадрат состоит из 1-го числа. Малый нетривиальный случай имеет порядок n = 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, именуется волшебной константой. Волшебная константа обычного магического квадрата зависит только от n и определяется формулой M(n) = 1/2 n( n2+1)»
Волшебный квадрат — древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во периоды правления правителя Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтоватой реки) выплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны загадочные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под заглавием ло-шу и равносильны волшебному квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о волшебных квадратах узнали в Индии, а потом в Стране восходящего солнца, где в 16 в. волшебным квадратам была посвящена широкая литература. Европейцев с волшебными квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, выдуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его известной гравюре Меланхолия 1. Дата сотворения гравюры (1514) указана числами, стоящими в 2-ух центральных клеточках нижней строчки.
Волшебным квадратам причисляли разные магические характеристики. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа выстроил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7-ми планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре волшебный квадрат защищает от чумы. Даже сейчас посреди атрибутов европейских прорицателей есть возможность узреть волшебные квадраты.
В 19 — 20 вв. энтузиазм к волшебным квадратам вспыхнул с новейшей силой. Их стали изучить при помощи способов высшей алгебры и операционного исчисления.
Каждый элемент волшебного квадрата именуется клеточкой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и именуется квадратом n — го порядка. В большинстве волшебных квадратов употребляются 1-ые n поочередных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на хоть какой диагонали, именуется неизменной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2.
Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка — S = 34, 5-го порядка — S = 65, 6-го порядка — S = 111, 7-го порядка — S = 175, 8-го порядка — S = 260, 9-го порядка — S = 369 и т.д.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата, именуются главными диагоналями. Ломаной именуется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, длится параллельно первому отрезку от обратного края (подобную диагональ образуют заштрихованные клеточки на рис. 3). Клеточки, симметричные относительно центра квадрата, именуются кососимметричными. Таковы, к примеру, клеточки a и b на рис. 3.
Правила построения волшебных квадратов делятся на три категории зависимо от того, каковой порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу либо равен учетверенному нечетному числу. Общий способ построения всех квадратов неизвестен (либо не определен), хотя обширно используются разные схемы, некие из которых подвергнутся рассмотрению ниже.
Волшебные квадраты нечетного порядка есть возможность выстроить при помощи способа французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Разглядим этот способ на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клеточку верхней строчки. Все натуральные числа размещаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клеточках диагоналей справа влево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клеточки последующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клеточки строчкой выше. Дойдя до заполненной клеточки (число 5) либо угла (число 15), линия движения спускается на одну клеточку вниз, после этого процесс наполнения длится.
Способ Ф.де ла Ирина (1640-1718) основан на 2-ух начальных квадратах. На рис. 5 показано, как при помощи этого способа строится квадрат 5-го порядка. В клеточку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клеточках главной диагонали, идущей на право вверх, и ни одно число не встречается два раза в одной строке либо в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той только различием, что число 10 сейчас повторяется в клеточках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих 2-ух квадратов(рис. 5,в) образует волшебный квадрат. Этот способ употребляется и при построении квадратов четного порядка.
В том случае известен метод построения квадратов порядка m и порядка n, то есть возможность выстроить квадрат порядка mЄn. Сущность этого метода показана на рис. 6. Тут m = 3 и n = 3. Более большой квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится способом де ла Лубера. В клеточку с числом 1?(центральную клеточку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный способом де ла Лубера. В клеточку с числом 2? (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клеточку с числом 3? — квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В итоге мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты именуются составными.
Понятно, что шахматы, как и волшебные квадраты, появились 10-ки веков вспять в Индии. Потому неслучайно появилась мысль шахматного подхода к построению волшебных квадратов. В первый раз эту идея высказал Эйлер. Он попробовал получить полный волшебный квадрат непрерывным обходом жеребца. Но, это сделать ему не удалось, так как в основных диагоналях суммы чисел выделялись от волшебной константы. Все же шахматная разбивка позволяет создавать хоть какой волшебный квадрат. Числа заполняются постоянно и построчно с учётом цвета ячеек. Познакомиться с шахматным подходом построения Волшебного кавадрата есть возможность тут — chess7.narod.ru.
Результатом многосторонних исследовательских работ волшебного квадрата стало создание Книжки перемен, в какой изложены главные принципы китайской философии, астрологии, нумерологии. Прошло немного сотен лет, и в итоге развития этих наук сложилась идеология, которая привела к появлению фактически учения фэн-шуй, ставшего частью единой философской системы, стиля жизни миллионов людей в Китае.
Полного описания всех вероятных волшебных квадратов не получено и до сих пор.
С внедрением параметров волшебного квадрата создаются разные головоломки, к примеру судоку ( что такое
судоку есть возможность выяснить по ссылкам обозначенным ниже). Либо еще виртуальные игры , к примеру тут lab-1m.ru, либо тут: magic.8212.ru.
Источники:
Дополнительно от New-Best.com: