Натуральными именуют числа, применяемые при счете (нумерации, перечислении) предметов. Другими словами, это целые положительные числа. Отрицательные и нецелые числа — к натуральным не относятся.
Натуральный ряд чисел конструируется на базе исходного натурального числа, именуемого единицей (обозначение «1») и операции перехода к последующему. Эта операция применима к хоть какому натуральному числу, а ее итог считается натуральным числом, последующим за начальным.
Для хоть какого натурального числа существует только одно последующее. Единица является минимальным натуральным числом, так как нет подобного натурального числа, для которого она была бы последующим. Большего натурального числа не существует, так как для хоть какого натурального числа есть возможность выстроить последующее. Формально структура огромного количества натуральных чисел задается пятью аксиомами Пеано.
Меж математиками есть расхождение по вопросу о том, какое число считать минимальным в натуральном ряду. Во французской традиции, восходящей к работам Н.Бурбаки, в отличие от других математических школ натуральными принято считать числа, выражающие количество предметов в группе. Потому в этой традиции минимальным натуральным числом считается ноль («0»), а не единица, и, соотвественно, французские арифметики, в отличие от других, признают ноль натуральным числом. Таковой подход мотивирован также теоретико-множественной моделью натурального ряда, в какой ноль отождествляется с пустым обилием (Ø), а операция перехода к последующему — с образованием огромного количества, состоящего из всех предыдущих натуральных чисел (представленных огромными количествами):
0 ≡ Ø
1 ≡ {Ø}
2 ≡ {Ø, {Ø}}
3 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}
4 ≡ {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}
и т.д.
Необходимо подчеркнуть, что при таком построении каждое натуральное число совпадает с мощностью соответственного ему огромного количества.
Порядок. На огромном количестве натуральных чисел определено отношение порядка «меньше», обозначаемое эмблемой «
Сложение. На базе операции перехода к последующему определяется операция сложения, обозначаемая эмблемой «+». Суммой M+N 2-ух натуральных чисел M и N именуется число K, получаемое из числа M в итоге N-кратного внедрения операции перехода к последующему. Сумма 2-ух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
Вычитание. На базе операции сложения определяется операция вычитания, обозначаемая эмблемой «-». Разностью M-N именуется такое число K, которое при прибавлении к N дает M. Разность существует не для каких угодно натуральных чисел M и N, а только для подобных, которые связаны отношением «меньше»: N
Умножение. На базе операции сложения на огромном количестве натуральных чисел вводится операция умножения, обозначаемая эмблемой «·». Произведением M·N 2-ух натуральных чисел M и N именуется число K, получаемое из числа M в итоге (N-1)-кратного добавления к нему числа M. Произведение каких угодно 2-ух натуральных чисел является натуральным числом.
Деление. На базе операции умножения определяется операция деления, обозначаемая эмблемой «/». Личным M/N 2-ух натуральных чисел M и N именуется такое число K, которое при умножении на N дает M. Далековато не для хоть какой пары натуральных чисел существует натуральное личное. В тех случаях, когда оно существует, говорят, что два натуральных числа делятся друг на друга.
Источники:
Дополнительно в базе данных New-Best.comа: