Треугольник — это многоугольник с 3-мя сторонами (либо 3-мя углами). Стороны треугольника нередко обозначаются малеханькими буквами, которые соответствуют большим буквам, обозначающим обратные вершины.
Остроугольным треугольником именуется треугольник, у которого все три угла острые.
Тупоугольным треугольником именуется треугольник, у которого один из углов тупой.
Прямоугольным треугольником именуется треугольник, у которого один из углов прямой, другими словами равен 90°; стороны a, b, образующие прямой угол, именуются катетами; сторона c, обратная прямому углу, именуется гипотенузой.
Равнобедренным треугольником именуется треугольник, у которого две его стороны равны (a = c); эти равные стороны именуются боковыми, 3-я сторона именуется основанием треугольника.
Равносторонним треугольником именуется треугольник, у которого все его стороны равны (a = b = c). В том случае в треугольнике не равна ни одна из его сторон (abc), то это неравносторонний треугольник.
Главные характеристики треугольников
В любом треугольнике:
Признаки равенства треугольников
Треугольники равны, в том случае у их соответственно равны:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два прямоугольных треугольника равны, в том случае производится одно из последующих критерий:
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из хоть какой вершины на обратную сторону (либо её продолжение). Эта сторона именуется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, именуемой ортоцентром треугольника.
Ортоцентр остроугольного треугольника размещен снутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника — снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с верхушкой прямого угла.
Медиана — это отрезок, соединяющий всякую верхушку треугольника с серединой обратной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей снутри треугольника и являющейся его центром масс. Эта точка разделяет каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки скрещения с обратной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей снутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса разделяет обратную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Срединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.
В остроугольном треугольнике эта точка лежит снутри треугольника, в тупоугольном — снаружи, в прямоугольном — посреди гипотенузы. Ортоцентр, центр масс, центр описанного и центр вписанного круга совпадают исключительно в равностороннем треугольнике.
Аксиома Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Подтверждение аксиомы Пифагора
Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Потом продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтоб получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Сейчас ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2. С иной стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, другими словами,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
отсюда,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
и совсем имеем:
c 2 = a 2 + b 2 .
Соотношение сторон в случайном треугольнике
В общем случае (для случайного треугольника) имеем:
c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab * cos C,
где С — угол меж сторонами а и b.
Полезные ссылки:
Дополнительно на New-Best.com: